高中数学题目:讨论y=a^x与y=lgx/lga的交点个数

首先，根据定义，a必须满足a＞0且a≠1

显然y＝a^x与y＝lgx/lga＝log(a)x（表示a为底）互为反函数，它们的图象关于y＝x对称，因此它们的交点必然在y＝x上。题目等价于讨论y＝a^x与y＝x的交点个数

因为lgx的定义域为x＞0，所以只需在第一象限内考虑

当0＜a＜1时，y＝a^x为严格减函数，y＝x为严格增函数
容易看出两曲线有且只有一个交点（严谨的证明需要用到拓扑连通性）

当a＞1时，曲线y＝a^x与直线y＝x可能相交，相切，或相离

不妨先考虑相切时的情形
设切点为(k,k)，则k满足k＝a^k，有lnk＝k*lna
且y＝a^x在x＝k处斜率为1，即lna*a^k＝1
而lna*a^k＝lna*k＝lnk，故lnk＝1，k＝e
此时lna＝lnk/k＝1/e，a＝e^(1/e)

当1＜a＜e^(1/e)时，曲线y＝a^x（在第一象限内，下同）位于曲线y＝[e^(1/e)]^x之下，和直线y＝x相交，有两个交点
当a＞e^(1/e)时，曲线y＝a^x位于曲线y＝[e^(1/e)]^x之上，和直线y＝x相离，无交点
（这两步的证明并不是很有说服力，严谨的证明需要用到二阶导数和拓扑，会超出高中范围）

综上所述：
当a＞e^(1/e)时，该二曲线无交点
当0＜a＜1时，该二曲线存在1个交点
当a＝e^(1/e)时，该二曲线存在1个交点(e,e)
当1＜a＜e^(1/e)时，该二曲线存在两个交点